Родился 15 августа 1946 в г. Уфе.
В 1968 окончил Курганский машиностроительный институт.
В 1969 призван в армию в звании лейтенанта, в 1971 был зачислен в кадровый офицерский состав. Военную службу начинал с должности заместителя командира танковой роты по технической части.
Окончил Академию бронетанковых войск им. Р. Я. Малиновского и с отличием - Военную академию Генерального штаба.
Проходил службу в должности начальника штаба - командира танкового полка, начальника штаба - командира танковой дивизии, первого заместителя командующего армией.
С августа 1993 по февраль 1995 - заместитель начальника Главного оперативного управления (ГОУ) Генерального штаба ВС РФ, первого заместителя начальника ГОУ.
С февраля 1995 - командующий войсками Северо-Кавказского военного округа (СКВО).
В декабре 1994 возглавил группировку федеральных войск в Чечне. Был одним из организаторов и командующих неудачным штурмом Грозного 1 января 1995.
В мае 1997 был назначен и. о. начальника Генерального штаба - первым заместителем Министра обороны РФ.
19 июня 1997 назначен начальником Генерального штаба ВС РФ - первым заместителем Министра обороны РФ.
14 июля 1997 вошел в состав Межведомственной комиссии по защите государственной тайны.
С мая 1998 - член Государственной комиссии по военному строительству.
9 августа 1999 в Дагестане на
Квашнина было совершено покушение - вертолет начальника Генштаба был обстрелян, однако по счастливой случайности
Квашнин не пострадал.
Генерал армии.
6 марта 2000 присвоено звание почетного гражданина Махачкалы.
Награжден орденом "За службу Родине в ВС СССР".
Женат, имеет двоих сыновей.
